Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu (S) tâm I ( -2 ; 3;0) và đường thẳng

22/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( { - 2;3;0} \right)\) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\). Biết đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(AB = 8\). Tính bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Giải thích

Giả sử mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + 2m = 0\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;3;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {13 - 2m} \) với \(m < \frac{{13}}{2}\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {4;3;3} \right)\) và có một vtcp là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng

\(d = d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 3\).

Vì đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(AB = 8\) nên ta có \({d^2} + \frac{{A{B^2}}}{4} = {R^2} \Leftrightarrow {3^2} + 16 = 13 - 2m \Leftrightarrow m = - 6\). ( thỏa điều kiện).

Suy ra bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {13 - 2.\left( { - 6} \right)} = 5\).