Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S

44/234

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 16\) và điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\). Từ \(A\) kẻ các tiếp tuyến đến \(\left( S \right)\) với các tiếp điểm thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\). Từ điềm \(M\) di động nằm ngoài \(\left( S \right)\) và nằm trong mặt phẳng chứa \(\left( {{C_1}} \right)\) kẻ các tiếp tuyến đến \(\left( S \right)\) và các tiếp điểm thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\). Biết rằng nếu \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) có cùng bán kính thì điểm \(M\) luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó.

\(\frac{{\sqrt {105} }}{3}\).

\(\frac{{\sqrt {115} }}{2}\).

\(\frac{{\sqrt {115} }}{3}\).

\(\frac{{\sqrt {111} }}{3}\).

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tìm khoảng cách.

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 4\)

Ta có \(AI = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} = \sqrt {18} > 4\)

Theo giả thiết ta có \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) có cùng bán kính, suy ra \(AI = MI\)

Gọi \(H = \left( {{C_1}} \right) \cap AI \Rightarrow HI \bot \left( {{C_1}} \right) \Rightarrow HI \bot HM \Rightarrow {\rm{\Delta }}HIM\) vuông tại \(H\)

\(K = \left( S \right) \cap HM \Rightarrow OK = R \Rightarrow AI.HI = I{K^2} \Rightarrow HI = \frac{{16}}{{\sqrt {18} }} = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}\).

Suy ra \(HM = \sqrt {I{M^2} - I{H^2}} = \sqrt {27 - \frac{{128}}{9}} = \frac{{\sqrt {115} }}{3}\)

Vậy điểm \(M\) thuộc đường tròn tâm \(H\) và có bán kính \(r = \frac{{\sqrt {115} }}{3}\).