Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( − 2 ; 1 ; 2 ) và đi qua điểm A ( 1 ; − 2 ; − 1 ) . Xét các điểm B , C , D thuộc (S) sao cho AB , AC , AD đôi một vuông góc với n

39/50

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;1;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right)\). Xét các điểm \(B,C,D\) thuộc (S) sao cho \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\) có giá trị lớn nhất (nhập đáp án vào ô trống).

___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đặt \(AB = a,AC = b,AD = c\) thì \(ABCD\) là tứ diện vuông đỉnh \(A\), nội tiếp mặt cầu (\(S\)).

Khi đó \(ABCD\) là tứ diện đặt ở góc \(A\) của một hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh \(AB,AC,AD\) và đường chéo là đường kính của mặt cầu (S).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4{R^2} = 4I{A^2} = 4 \cdot 27 = 108\).

Xét thể tích khối tứ diện \(ABCD:V = {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}abc \Leftrightarrow {V^2} = \frac{1}{{36}}{a^2}{b^2}{c^2}\).

Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} \right)^3} \ge {a^2}{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{108}}{3}} \right)^3} \ge 36{V^2} \Leftrightarrow V \le 36\)

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện \(ABCD\) là 36.

Đáp án cần nhập là: \(36\).