Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; 1), bán kính r = 3; mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 6 = 0 và đường thẳng d: (x + 1)/1 = (y + 2)/(-2) = (z - 3)/1.

91/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I( - 1;2;1)$, bán kính $r = 3$; mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z + 6 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}$. Xét các điểm $M,\,\,N$ thay đổi lần lượt nằm trên $(P)$ và $(S)$ sao cho $MN$ luôn song song với $d$. Hỏi giá trị lớn nhất của đoạn thẳng MN thuộc khoảng nào sau đây?

$\left( {25;\,\,30} \right).$

$\left( {44;\,\,55} \right).$

$\left( {55;\,\,60} \right).$

$\left( {20;\,\,25} \right).$

Giải thích

Giải chi tiết:

Ta có $d(I,(P)) = \frac{{| - 1 + 2(2) + 2(1) + 6|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{11}}{3}$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $N$ lên mặt phẳng $(P)$.

Ta có $MN\parallel d$ nên $\overset{⏜}{N M H} = (d, (P)) \Rightarrow \sin \overset{⏜}{N M H} = \frac{| \vec{u_{d}} \cdot \vec{n_{P}} |}{| \vec{u_{d}} | | \vec{n_{P}} |} = \frac{| 1 (1) + (- 2) (2) + 1 (2) |}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}} \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{3 \sqrt{6}}$ .

Xét tam giác $NMH$ vuông tại $H$, ta có $\sin \overset{⏜}{N M H} = \frac{N H}{M N}$ suy ra

$M N = \frac{N H}{\sin \overset{⏜}{N M H}} = N H \cdot 3 \sqrt{6} \leq (d (I, (P)) + r) \cdot 3 \sqrt{6} = (\frac{11}{3} + 3) \cdot 3 \sqrt{6} = (\frac{20}{3}) \cdot 3 \sqrt{6} = 20 \sqrt{6} \approx 48,989$ .

Đáp án cần chọn là: B