Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu (S) có phương trình

a) Đúng.

Mặt cầu \(\left( S \right):\)\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\).

b) Sai.

Thay \(x = y = z = 0\) vào phương trình của \(\left( S \right)\), được: \({\left( {0 - 1} \right)^2} + {\left( {0 + 2} \right)^2} + {0^2} = 9\), vô lí.

Vậy \(\left( S \right)\) không đi qua gốc tọa độ \(O\).

c) Sai.

Vì \(IM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}}  = 4 > R = 3\) nên \(M\) nằm ngoài \(\left( S \right)\).

d) Đúng.

Gọi \(A\left( {0;0;a} \right)\) là giao điểm của \(\left( S \right)\) với trục \(Oz\).

Vì \(A \in \left( S \right)\) nên \({\left( {0 - 1} \right)^2} + {\left( {0 + 2} \right)^2} + {a^2} = 9 \Leftrightarrow {a^2} = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2\\a = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( S \right)\) cắt trục \(Oz\) tại các điểm có tọa độ \(\left( {0\,;\,0\,;\,2} \right)\) và \(\left( {0\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).