Trong không gian Oxyz, cho hình vuông ABCD biết A(1;2;1), B(3;0;0), C(1; −1;  −2), D(−1; 1; −1). Giả sử I(m; n; p) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và G là trọng tâm tam giác ABC

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Tâm I của hình vuông chính là trung điểm của đường chéo AC và BD.

Khi đó \(I\left( {1;\frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\).

G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\).

Gọi H là trung điểm của GI nên \(H\left( {\frac{4}{3};\frac{5}{{12}};\frac{{ - 5}}{{12}}} \right)\).

\(\overrightarrow {GI}  = \left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{1}{6};\frac{{ - 1}}{6}} \right)\).

Chọn \(\overrightarrow n  = \left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{1}{6};\frac{{ - 1}}{6}} \right)\) làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn GI.

Do đó phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn GI là:

\(\frac{{ - 2}}{3}\left( {x - \frac{4}{3}} \right) + \frac{1}{6}\left( {y - \frac{5}{{12}}} \right) - \frac{1}{6}\left( {z + \frac{5}{{12}}} \right) = 0\)

⇔ \(\frac{{ - 2}}{3}x + \frac{1}{6}y - \frac{1}{6}z + \frac{3}{4} = 0\) hay 8x – 2y + 2z – 9 = 0.

Vậy a + c = 8 + 2 = 10.