Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (C'BD).

15/25

\(\frac{1}{3}\).

\(\frac{2}{3}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

\(\frac{1}{2}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right)\). Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\)

Có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y - 1 = 0\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;1;0} \right)\).

Có \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;1} \right)\). Gọi C'(a; b; c).

Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b - 1 = 0\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.\). Vậy C'(1; 1; 1).

Có (A'BD) có phương trình \(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 1\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'BD) là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {C'D} = \left( { - 1;0; - 1} \right),\overrightarrow {C'B} = \left( {0; - 1; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {C'D} ,\overrightarrow {C'B} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (C'BD).

Do đó \(\cos \left( {\left( {A'BD} \right),\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}\).