Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1, đỉnh A trùng với gốc O, các vectơ AB, AD, AA' theo thứ

13/22

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI (4 ĐIỂM). Với mỗi câu hỏi sau, ở các ý a), b), c), d), học sinh chọn Đúng hoặc Sai để trả lời.

Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1, đỉnh A trùng với gốc O, các vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \] theo thứ tự cùng hướng với \(\vec i,\vec j,\vec k\).

\(B\left( {1;0;0} \right)\).

ĐúngSai

\(\overrightarrow {AC'} = \vec i + \vec j\).

ĐúngSai

Gọi M là trung điểm của \(B'C'\), khi đó \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};1} \right)\).

ĐúngSai

Gọi G là trọng tâm của tam giác \(CB'D'\), khi đó diện tích tam giác GAC là \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

ĐúngSai

Giải thích

Do hình lập phương có cạnh bằng 1, gắn vào hệ trục Oxyz với \(A\left( {0;0;0} \right)\), ta tìm được tọa độ các đỉnh:

\(B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),A'\left( {0;0;1} \right),C\left( {1;1;0} \right),B'\left( {1;0;1} \right),D'\left( {0;1;1} \right),C'\left( {1;1;1} \right)\).

a) ĐÚNG.

b) SAI. Ta có \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \vec i + \vec j + \vec k\).

c) SAI. Vì M là trung điểm \(B'C'\) nên \(M = \left( {\frac{{1 + 1}}{2};\frac{{0 + 1}}{2};\frac{{1 + 1}}{2}} \right) = \left( {1;\frac{1}{2};1} \right)\).

d) SAI. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác \(CB'D'\):

\({x_G} = \frac{{1 + 1 + 0}}{3} = \frac{2}{3},\quad {y_G} = \frac{{1 + 0 + 1}}{3} = \frac{2}{3},\quad {z_G} = \frac{{0 + 1 + 1}}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\) và \(C\left( {1;1;0} \right)\).

Tính các vectơ: \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right)\), \(\overrightarrow {AG} = \left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Tích có hướng: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AG} } \right] = \left( {1 \cdot \frac{2}{3} - 0;0 - 1 \cdot \frac{2}{3};1 \cdot \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{2}{3}} \right) = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};0} \right)\).

Diện tích tam giác GAC: \(S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AG} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{3} \ne \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).