Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AA' = 2, AD = 4. Gọi E là tâm của hình chữ nhật, F là trung điểm của cạnh AC'

Theo bài ra ta xác định được \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;2} \right)\).

a) Sai. Theo quy tắc hình bình hành áp dụng cho hình chữ nhật \(ABCD\) ở đáy, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \). Do đó khẳng định bằng \(2\overrightarrow {AC} \) là sai.

b) Đúng. Đây chính là quy tắc hình hộp trong hình học không gian.

c) Đúng. Tọa độ các đỉnh: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\), \(D\left( {0;4;0} \right) \Rightarrow C\left( {2;4;0} \right)\).

\(A'\left( {0;0;2} \right) \Rightarrow C'\left( {2;4;2} \right)\).

\(E\) là tâm đáy \(ABCD\) (trung điểm \(AC\)) \( \Rightarrow E\left( {1;2;0} \right)\).

\(F\) là trung điểm \(AC' \Rightarrow F\left( {1;2;1} \right)\).

Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {EF} = \left( {1 - 1;2 - 2;1 - 0} \right) = \left( {0;0;1} \right)\).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;4;0} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AC} = \left( {4;8;0} \right)\).

Điểm \(B'\left( {2;0;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB'} = \left( {2;0;2} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB'} = \left( {6;0;6} \right)\).

Suy ra \(\vec u = 2\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AB'} = \left( {4 - 6;8 - 0;0 - 6} \right) = \left( { - 2;8; - 6} \right)\).

Độ dài của \(\vec u\) là: \(\left| {\vec u} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {8^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 64 + 36} = \sqrt {104} = 2\sqrt {26} \).