Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc ABCD

Trong không gian Oxyz, ta có \(C(2;3;0),\overrightarrow {SC}  = (2;3; - 2)\); \(\overline {BD}  = ( - 2;3;0)\).

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là \(\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)\).

Ta có \(\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}\).

Suy ra (SC,BD)≈70°21'

b) Ta có phương trình mặt phẳng \((SBD)\) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1\) hay \(3x + 2y + 3z - 6 = 0\).

Mặt phẳng \((SBD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3;2;3)\), mặt đáy \((ABCD)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec k = (0;0;1)\). Gọi \(\alpha \) là góc giũua mặt phẳng \((SBD)\) và mặt đáy.

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}\). Suy ra ((SBD),(ABCD))≈50°14'

c) Gọi \(\beta \) là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng \((SBD)\).

Ta có \(\sin \beta  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}\). Suy ra (SC,(SBD))≈18°4'