Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$,

15/20

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh bằng $2\sqrt 2 $, cạnh bên $SA = 4$ (tham khảo hình vẽ).

$Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, (ảnh 1)$

a) Tọa độ của điểm $A$ là $\left( {0;2;0} \right)$.

b) Trọng tâm của tam giác $SAB$ là $G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)$.

c) Nếu $E\left( {a;0;b} \right)$ là điểm trên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ sao cho ba điểm $C,E,G$ thẳng hàng thì $a \cdot b = \sqrt 3 $.

d) Nếu $M\left( {0;m;n} \right)$ là điểm trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho $MG + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất thì ${m^2} + {n^2} = 1$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có $AB = 2\sqrt 2 $$ \Rightarrow OA = OB = 2$$ \Rightarrow A\left( {0; - 2;0} \right)$.Ta có $OB = 2 \Rightarrow B\left( {2;0;0} \right)$.

$Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, (ảnh 2)$

$OS = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {16 - 4} = 2\sqrt 3 \Rightarrow S\left( {0;0;2\sqrt 3 } \right)$.

Suy ra tọa độ của trọng tâm của tam giác $SAB$ là$G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)$.

Ta có $C\left( {0;2;0} \right)$$ \Rightarrow \overrightarrow {CE} = \left( {a; - 2;b} \right)$, $\overrightarrow {CG} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{8}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)$.

Vì $C,E,G$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {CE} $ cùng phương với $\overrightarrow {CG} $

$ \Rightarrow \frac{{3a}}{2} = \frac{3}{4} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2}$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.$$ \Rightarrow a \cdot b = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$.

Do $D$ đối xứng với $B$ qua mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ nên với mọi điểm $M$ trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$, ta đều có $MG + MB = MG + MD$.

Mặt khác, hai điểm $G$ và $D$ khác phía so với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ nên $MG + MD$ nhỏ nhất khi và chỉ khi ba điểm $G,D,M$ thẳng hàng.

Ta có $D\left( { - 2;0;0} \right)$, $\overrightarrow {DM} = \left( {2;m;n} \right),\overrightarrow {DG} = \left( {\frac{8}{3}; - \frac{2}{3};\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)$.

Vì $G,D,M$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {DM} $ cùng phương với $\overrightarrow {DG} $

$ \Rightarrow \frac{3}{4} = - \frac{{3m}}{2} = \frac{{n\sqrt 3 }}{2}$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{1}{2}\\n = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.$$ \Rightarrow {m^2} + {n^2} = 1$.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Đề thi ôn tốt nghiệp THPT Toán có lời giải ( Đề 4)

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\),