Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y + z = 3 và ( Q ) : 2 x + y − z = 5 . Giao tuyến của ( P ) và ( Q ) có phương trình là

83/100

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((P):x + y + z = 3\) và \((Q):2x + y - z = 5\). Giao tuyến của \((P)\) và \((Q)\) có phương trình là

\(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y - 4}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - \frac{5}{2}}}{{ - 2}} = \frac{{z + \frac{1}{2}}}{1}\).

\(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{3}\).

\(\frac{{x + 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 7}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}\).

Giải thích

Cách 1.

Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).

\(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (1;1;1),\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (2;1; - 1).\)

\(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ,\overrightarrow {{n_{(Q)}}} } \right] = ( - 2;3; - 1).\)

Chọn điểm \(M(0;4; - 1)\) thuộc hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) là̀ \(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y - 4}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

Cách 2.

Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) thì với mỗi điểm \(M(x;y;z) \in d\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 3}\\{2x + y - z = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 8}\\{z = 2x + y - 5}\end{array}} \right.} \right.\)

Cho \(x = 2t(t \in \mathbb{R})\) thì từ hệ phương trình trên ta thu được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 4 - 3t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\).

Vậy phương trình của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 4 - 3t\,\,(t \in \mathbb{R}){\rm{. }}}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\)

Chọn A