Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y − z − 2 = 0 và (Q): x − y − 5 = 0. Gọi d là đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Sai. Từ phương trình mặt phẳng (Q): x − y − 5 = 0, ta suy ra vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\).

b) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:

\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 0 - \left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right)1 - 1 \cdot 0;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( { - 1; - 1; - 2} \right)\).

Nhân vectơ này với −1 để rút gọn, ta được vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;1;2} \right)\).

c) Sai. Theo định nghĩa, do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên d phải vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} \), chứ d không vuông góc với mặt phẳng (P).

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;1;2} \right)\) thì có phương trình chính tắc là: \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\).