Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và (Q): x – y + z + 3 = 0. Có bao nhiêu mặt phẳng (R) chứa trục Ox và chia góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thành hai phần bằn

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Mặt phẳng (R) chứa trục Ox có phương trình dạng by + cz = 0.

Suy ra \(\overrightarrow {{n_R}}  = \left( {0;b;c} \right)\) với \({b^2} + {c^2} \ne 0\).

Có \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Theo đề ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( R \right)} \right) = \cos \left( {\left( Q \right),\left( R \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {b + c} \right|}}{{\sqrt 3  \cdot \sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| { - b + c} \right|}}{{\sqrt 3  \cdot \sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {b + c} \right| = \left| { - b + c} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b + c =  - b + c\\b + c = b - c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\c = 0\end{array} \right.\).

Với b = 0 thì (R): z = 0 trùng với mặt phẳng (Oxy).

Với c = 0 thì (R): y = 0 trùng với mặt phẳng (Oxz).