Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x − y + z = 0 và (Q): x + y − z + 2 = 0. Xét đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Sai. Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\), của (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\). Hai vectơ này không cùng phương vì tỉ lệ tọa độ không bằng nhau. Do d vuông góc với (P) nên nó không thể vuông góc với (Q).

b) Đúng. Đường thẳng d vuông góc với (P) nên d nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

c) Đúng. Áp dụng công thức, hệ phương trình tham số của d đi qua A(1; 1; 1) với vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_P}} \) được viết là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 1 \cdot t}\\{y = 1 - 1 \cdot t}\\{z = 1 + 1 \cdot t}\end{array}} \right.\) <=> \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)

d) Đúng. Thế phương trình tham số vào mặt phẳng (Q) ta có: (1 + t) + (1 – t) – (1 + t) + 2 = 0 <=> 3 – t = 0 Þ t = 3.