Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 4y – 2z – 6 = 0, (Q): x – 2y + 4z – 6 = 0. Mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của (P) và (Q) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao ch

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Vì hình chóp O.ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC đều.

Mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của (P) và (Q) và cắt tia Ox tại A nên A(a; 0; 0) với a > 0.

Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Suy ra \(\Delta OHA = \Delta OHB = \Delta OHC\left( {c.g.c} \right)\) nên OA = OB = OC.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1\) hay x + y + z – a = 0.

Ta lấy hai điểm trên giao tuyến của (P), (Q) là E(6; 0; 0) và F(2; 2; 2).

Thay toạ độ E, F vào mặt phẳng (ABC) có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 + 0 + 0 - a = 0}\\{2 + 2 + 2 - a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = 6\).

Khi đó mặt phẳng (α) có phương trình là x + y + z – 6 = 0.

Do (α) // (β) nên \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;1;1} \right)\).

Mặt phẳng (β) đi qua điểm M(1; −2; 3) và nhận \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {1;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1(x – 1) + 1(y + 2) + 1(z – 3) = 0 hay x + y + z – 2 = 0.

Vậy a + b + c = 3.