Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x+ 3y - z = 0,(Q):x - y - 2z + 1 = 0.

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}}  = (1;3; - 1),\overrightarrow {{n_Q}}  = (1; - 1; - 2)\) vì \(\overrightarrow {{n_P}}  \cdot \overrightarrow {{n_Q}}  = 1 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 1) + ( - 1) \cdot ( - 2) = 0\)

Do đó hai mặt phẳng \(({\rm{P}})\) và \(({\rm{Q}})\) vuông góc với nhau.

\(\begin{array}{l}{\rm{ b) Do M}} \in {\rm{Ox nên M}} ({\rm{a}};0;0){\rm{.  Do d}}({\rm{M}},({\rm{P}})) = {\rm{d}}({\rm{M}},({\rm{Q}})) {\rm{ nên }} \frac{{|a|}}{{\sqrt {1 + 9 + 1} }} = \frac{{|a + 1|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} \Leftrightarrow \sqrt 6 |a| = \sqrt {11} |a + 1|\\ \Leftrightarrow 6{a^2} = 11{a^2} + 22a + 11 \Leftrightarrow 5{a^2} + 22a + 11 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5}{\rm{ hay }}a = \frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5}\end{array}\)Vậy có hai điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu là: \({M_1}\left( {\frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5};0;0} \right),{M_2}\left( {\frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)\)