Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − 3y + 2z − 1 = 0 , ( Q ) : x − z + 2 = 0 . Gọi ( α ) là mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) , đồng thời cắt trục

30/100

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + 2z - 1 = 0,\left( Q \right):x - z + 2 = 0\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), đồng thời cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng 3 . Phương trình của ( \(\alpha \) ) là

\(2x + z - 6 = 0\).

\(x + y + z + 3 = 0\).

\( - 2x + z + 6 = 0\).

\(x + y + z - 3 = 0\).

Giải thích

Giải chi tiết
Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)\).
Do \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với hai măt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến là:
\(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {3;3;3} \right)\).
Ta chọn một vectơ pháp tuyến khác của \(\left( \alpha \right)\) là \(\vec n = \left( {1;1;1} \right)\).
Do \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng 3 nên ta có điểm \(M\left( {3;0;0} \right) \in \left( \alpha \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\left( {x - 3} \right) + y + z = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 3 = 0\).

Đáp án cần chọn là: D