Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): x – y + mz + 3 = 0 (với m là tham số). Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Sai.                    c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2; - 2} \right)\).

b) Sai. Khi m = 1 thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_P}}  \cdot \overrightarrow {{n_Q}}  = 1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 =  - 3\).

c) Sai. Khi m = 0 thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 76,4^\circ \).

d) Đúng. Có \(\cos 60^\circ  = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {m^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 - 2m} \right|}}{{3\sqrt {2 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 4{\left( {1 + 2m} \right)^2} = 9\left( {2 + {m^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4 + 16m + 16{m^2} = 18 + 9{m^2}\)\( \Leftrightarrow 7{m^2} + 16m - 14 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 8 \pm 9\sqrt 2 }}{7}\).

Vậy có 2 giá trị của m.