Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 5x + my + z – 5 = 0 và (Q): nx – 3y − 2z + 7 = 0. Biết (P) // (Q). Tính m + n?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −8,5

Mặt phẳng (P): 5x + my + z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow a  = \left( {5;m;1} \right)\).

Mặt phẳng (Q): nx – 3y − 2z + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow b  = \left( {n; - 3; - 2} \right)\).

(P) // (Q) ⇔ \(\frac{5}{n} = \frac{m}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 5}}{7} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{5}{n} = \frac{1}{{ - 2}}}\\{\frac{m}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 2}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{3}{2}}\\{n =  - 10}\end{array}} \right.\).

Vậy m + n = \(\frac{3}{2} - 10 =  - 8,5\).