Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z - 3 = 0,\) \(\left( Q \right):x - y + z + 2 = 0\) và điểm \(A\left( {3;4; - 1} \right)\).

Ý a): SAI

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2;1;2} \right)\). Vectơ đề bài cho là \(\left( {2;1; - 2} \right)\) bị sai dấu ở cao độ.

Ý b): ĐÚNG

Khoảng cách từ \(A\left( {3;4; - 1} \right)\) đến \(\left( P \right):2x + y + 2z - 3 = 0\) là:

\(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {6 + 4 - 2 - 3} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{5}{3}\).

Ý c): ĐÚNG

Thay tọa độ điểm \(A\left( {3;4; - 1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):x - y + z + 2 = 0\):

.

Do đó điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Ý d): ĐÚNG

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là: \({\vec n_{\left( \alpha \right)}} = \left[ {{{\vec n}_{\left( P \right)}},{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right]\).

Với \({\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2;1;2} \right)\) và \({\vec n_{\left( Q \right)}} = \left( {1; - 1;1} \right)\) thì \({\vec n_{\left( \alpha \right)}} = \left( {3;0; - 3} \right)\).

Chọn vectơ pháp tuyến rút gọn là \(\overrightarrow {n'} = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( {3;4; - 1} \right)\) là: \(1\left( {x - 3} \right) + 0\left( {y - 4} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - z - 4 = 0\).