Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9 và (S'): (x-1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=16. Biết rằng các giao điểm của hai

84/95

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S):(x-1{)}^{2}+(y-2{)}^{2}+(z+1{)}^{2}=9$ và $\left. {S}^{'} \right.:(x-1{)}^{2}+(y+2{)}^{2}+(z-2{)}^{2}=16$. Biết rằng các giao điểm của hai mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn ( $C$ ). Gọi $J(a;b;c)$ là tâm của ( $C$ ). Giá trị $T=2a+b+c$ bằng

$T=\frac{66}{25}$.

$T=\frac{62}{25}$.

$T=\frac{109}{25}$.

$T=\frac{59}{25}$.

Giải thích

Xét hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9\\
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=16
\end{cases}
\]

\[
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-3=0\\
x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z-7=0
\end{cases}
\]

\[
\Leftrightarrow 4y-3z-2=0
\]

Nên phương trình chứa các giao điểm của hai mặt cầu là $(\alpha):\;4y-3z-2=0$.

Ta có: $I(1;2;-1)$ và $I'(1;-2;2)$.

\[
\Rightarrow II':
\begin{cases}
x=1\\
y=2+4t\\
z=-1-3t
\end{cases}
\]

Khi đó, $J=II'\cap(\alpha)$.

\[
\Rightarrow J(1;2+4t;-1-3t)\in(\alpha):4y-3z-2=0
\]

\[
\Leftrightarrow 4(2+4t)-3(-1-3t)-2=0
\]

\[
\Leftrightarrow t=-\frac{9}{25}\Rightarrow 2a+b+c=\frac{66}{25}.
\]

Đáp án đúng là A

Mở rộng:

Trừ hai phương trình mặt cầu để tìm mặt phẳng $(α)$chứa đường tròn giao tuyến. Tâm $J$ là giao điểm của đoạn nối tâm $II'$và $(α)$