Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x/1 = (y - 3)/1 = (z - 5)/-1

97/235

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}, {d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7 + 4t,}\\{y = 0,}\\{z = t.}\end{array}} \right.\]

Gọi \(d\) là đường thẳng cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

\({M_1}(2;5;4)\).

\({M_2}(0; - 5;11)\).

\({M_3}(1;4;2)\).

\({M_4}(3;0;0)\).

Giải thích

Phương pháp giải:

Lập phương trình tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng.

Giải chi tiết:

Gọi \(A(a;a + 3; - a + 5) \in {d_1}\) và \(B(7 + 4b;0;b) \in {d_2}\).

Khi đó:

\[\overrightarrow {AB} = (7 + 4b - a,{\mkern 1mu} - a - 3,{\mkern 1mu} a + b - 5).\]

Vectơ chỉ phương của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là:

\[{\vec u_1} = (1;1; - 1),\qquad {\vec u_2} = (4;0;1).\]

Do \(d\) vuông góc với cả \({d_1}\) và \({d_2}\) nên:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_1} = 0,}\\{\overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_2} = 0.}\end{array}} \right.\]

Suy ra hệ:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3a + 3b + 9 = 0,}\\{ - 3a + 17b + 23 = 0,}\end{array}} \right.\]

giải được:

\[a = 2,\quad b = - 1.\]

Suy ra:

\[A(2;5;3),\quad B(3;0; - 1).\]

Phương trình đường thẳng \(d\) là:

\[d:\;\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 5}} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}.\]

Kiểm tra các phương án, ta thấy \(d\) đi qua điểm:

\[{M_2}(0; - 5;11).\]

Đáp án: B.