Trong không gian Oxyz,cho hai đường thẳng

95/235

Trong không gian $O x y z,$ cho hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 3 \\ z = 2 - 2 t \end{cases}$ và $d_{2} : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 4}{3} .$ Phương trình mặt phẳng $(P)$ cách đều hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ có dạng $a x + b y + c z + 11 = 0.$ Giá trị của $a + 2 b + 3 c$ bằng (nhập đáp án vào ô trống)

___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right)\] và đi qua điểm $M\left( {1; - 3;2} \right).$

Đường thẳng ${d_2}$ có vectơ chỉ phương \[\vec v = \left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,3} \right)\] và đi qua điểm $N\left( { - 3\,;\,\,1\,;\,\, - 4} \right).$

Ta có: $\left[ {\vec v\,,\,\,\vec u} \right] = \left( {4\,;\,\,5\,;\,\,2} \right) \ne \vec 0\,;\,\,\overrightarrow {MN} = \left( { - 4\,;\,\,4\,;\,\, - 6} \right)\,;\,\,\left[ {\vec v\,,\,\,\vec u} \right] \cdot \overrightarrow {MN} = - 16 + 20 - 12 = - 8 \ne 0$

$ \Rightarrow {d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ cách đều hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ nên $\left( P \right)$ nhận $\left[ {\vec v\,,\,\,\vec u} \right] = \left( {4\,;\,\,5\,;\,\,2} \right)$ là vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I\left( { - 1\,;\,\, - 1\,;\,\, - 1} \right)$ của đoạn MN.

Suy ra phương trình của $\left( P \right):4\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y + 2z + 11 = 0$

$ \Rightarrow a = 4\,;\,\,b = 5\,;\,\,c = 2 \Rightarrow a + 2b + 3c = 20.$

Đáp án cần nhập là: 20.