Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

46/235

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng \({{\rm{\Delta }}_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2 + t,\,\,{{\rm{\Delta }}_2}}\\{z = - t}\end{array} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.} \right.\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\). Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\).

\(\frac{{\sqrt {10} }}{2}\).

\(\frac{{\sqrt {11} }}{2}\).

\(\frac{3}{2}\).

\(\sqrt 3 \).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

\(A \in {{\rm{\Delta }}_1} \Rightarrow A\left( {1;2 + t; - t} \right)\)

\(B \in {{\rm{\Delta }}_2} \Rightarrow B\left( {4 + t';3 - 2t';1 - t'} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3 + t';1 - 2t' - t;1 - t' + t} \right)\)

VTCP của đường thẳng \({{\rm{\Delta }}_1}\) là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0;1; - 1} \right)\)

VTCP của đường thẳng \({{\rm{\Delta }}_2}\) là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - 2t' - t - \left( {1 - t' + t} \right) = 0}\\{3 + t' - 2\left( {1 - 2t' - t} \right) - \left( {1 - t' + t} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow t = t' = 0} \right.} \right.\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {11} \).

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\) có đường kính bằng độ dài đoạn \(AB\) nên có bán kính \(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).