Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

19/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1}\);

\({d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{2}.\) Mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \({d_1}\) tại điểm có hoành độ bằng \(1\) và có tâm nằm trên đường thẳng \({d_2}.\)Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng

\(\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {x - c} \right)^2} = {R^2}\) khi đó \(a + 2b + 3c\) bằng \(?\

Giải thích

Điểm thuộc \({d_1}\) có hoành độ \(x = 1 \Rightarrow \frac{{1 + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z = - 1\end{array} \right..\)

Vậy \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \({d_1}\) tại điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\) do đó tâm mặt cầu \(I\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua điểm

\(A\) và vuông góc với \({d_1}\) và \[\left( P \right):2x - y + z + 1 = 0.\]

Mặt khác \[I \in {d_2} \Rightarrow I = {d_2} \cap \left( P \right):\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z + 1 = 0\\\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;1; - 4} \right) \Rightarrow R = IA = \sqrt {11} .\]

Do đó \[\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 11 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = - 4\end{array} \right. \to a + 2b + 3c = - 8.\]