Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : (x + 2)/ − 1 = (y − 1)/ − 2 = (z + 3)/ 2 ; d2 : x = − 1 + t ; y = 3 + t; z = 2 − mt .

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1; - 2;2} \right)\)

a) Khi m = 0, đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;1;0} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra (d1, d2) = 45°.

b) Trục Ox có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\).

\(\cos \left( {{d_1},Ox} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).0 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{3}\).

c) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;2;1} \right)\),

Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n  = \left( {2;2;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {{d_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}\).

d) Số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 90° khi hai đường thẳng vuông góc.

Khi đó \(\overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow  - 3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{2}\).

Suy ra \(a =  - 3;b = 2\). Vậy \({a^2} + {b^2} = 13\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.