Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng d : x -2 / 2 = y/ -1 = z/4

19/22

Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \(d:\,\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{4}\) và \(\Delta :\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{4}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và \(\Delta \) có dạng: \(ax + by + z + c = 0\).Tính giá trị của \[a + b + c\]

Giải thích

\(d:\,\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{4}\)\( \Rightarrow d\) qua \(M\left( {2;0;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;4} \right)\) làm một VTCP

\(\Delta :\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{4}\)\( \Rightarrow \Delta \) qua \(N\left( {1;2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;4} \right)\) làm một VTCP

Thế tọa độ điểm \(M\left( {2;0;0} \right)\)vào đường thẳng \(\Delta \), ta được: \(\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow d//\Delta \).

\(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\). \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và \(\Delta \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( {7; - 7;7} \right)\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\):\(x - y + z - 2 = 0\)\( \Rightarrow a = 1,b = - 1;c = - 2 \Rightarrow a + b + c = - 2\).