Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: x = 1 + t; y = 2 + 3t; z = 3 - t và đường thẳng d’; (x – 2)/(- 2) = (y + 2)/1 = (z – 1)/3

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                 b) Sai.             c) Sai.               d) Đúng.

a) Đúng. Điểm M(1; 2; 3) thuộc d và điểm N(2; −2; 1) thuộc d’.

b) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 1} \right)\).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 2;1;3} \right)\).

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 2} \right) + 3 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {154} }}{{77}}\).

c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 1} \right)\) và đi qua M(1; 2; 3).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 2;1;3} \right)\) và đi qua N(2; −2; 1).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {10; - 1;7} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 4; - 2} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {MN} = 10 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) + 7 \cdot \left( { - 2} \right) = 0\).

Vậy d và d’ cắt nhau.

d) Đúng. Thay H(0; −1; 4) vào phương trình đường thẳng d ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = 1 + t}\\{ - 1 = 2 + 3t}\\{4 = 3 - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = - 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = - 1\).

Vậy H thuộc đường thẳng d.