Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau là Δ1 và Δ2 lần lượt có phương trình: Δ1 : (x − 1)/ 1 = (y − 3)/ − 1 = (z − 2)/ 2 ; Δ2 : x/3 = (y)/ − 1 = (z + 1)/ 3 .

35/50

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng chéo nhau là \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\) lần lượt có phương trình: \({{\rm{\Delta }}_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{2};\,\,{{\rm{\Delta }}_2}:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường vuông góc chung của \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\). Phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là

\({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).

\({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 3}}{2}\).

\({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{2}\).

\({\rm{\Delta }}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{{z + 2}}{2}\).

Giải thích

Ta có \(\overrightarrow {{u_{{{\rm{\Delta }}_1}}}} = \left( {1; - 1;2} \right);\overrightarrow {{u_{{{\rm{\Delta }}_2}}}} = \left( {3; - 1;3} \right)\).

Gọi \({M_1} \in {\Delta _1} \cap \Delta \Rightarrow {M_1}\left( {1 + t;3 - t;2 + 2t} \right)\); \({M_2} \in {\Delta _2} \cap \Delta \Rightarrow {M_2}\left( {3t'; - t'; - 1 + 3t'} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {3t' - 1 - t; - t' - 3 + t; - 3 + 3t' - 2t} \right)\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \bot \overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} \\\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \bot \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = 0\\\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t' - 1 - t + t' + 3 - t + 2\left( { - 3 + 3t' - 2t} \right) = 0\\3\left( {3t' - 1 - t} \right) + t' + 3 - t + 3\left( { - 3 + 3t' - 2t} \right) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10t' - 6t = 4\\19t' - 10t = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 1\end{array} \right.\).

Suy ra \({M_2}\left( {3; - 1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {1; - 3; - 2} \right) = - \left( { - 1;3;2} \right)\).

Khi đó đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_2}\left( {3; - 1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{2}\). Chọn C.