Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1: (x + 1)/1 = (y + 2)/2 = z/1 và Δ2: (x − 2)/2 = (y − 1)/1 = (z − 1)/1. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P): x + y − 2z + 5 = 0 và cắt hai đ

17/40

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{1}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\). Đường thẳng \(d\)song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 5 = 0\) và cắt hai đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) lần lượt tại \(A,B\)sao cho \(AB\) ngắn nhất. Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là

\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\).

\(\frac{{x - 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 2}}{{ - 3}}\).

\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\).

\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\).

Giải thích

Gọi \(A = d \cap {\Delta _1},B = d \cap {\Delta _2}\).

Vì \(A \in {\Delta _1} \Rightarrow A\left( { - 1 + a; - 2 + 2a;a} \right)\) và \(B \in {\Delta _2} \Rightarrow B\left( {2 + 2b;1 + b;1 + b} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a + 2b + 3; - 2a + b + 3; - a + b + 1} \right)\).

Vì \(d//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 4\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {a - 5; - a - 1; - 3} \right)\).

Có \(AB = \sqrt {2{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 27} \ge 3\sqrt 3 ,\forall a \in \mathbb{R}\).

Khi đó \(\min AB = 3\sqrt 3 \) khi \(a = 2 \Rightarrow A\left( {1;2;2} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;2;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\). Chọn A.