Trong không gian Oxyz, cho hai điểm P(3;1;0), Q(2;3;0) và điểm N di động trên tia Oz. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên OQ và NQ. Đường thẳng EF cắt trục Oz tại điểm T.

Đường thẳng \(OQ\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {OQ}  = \left( {2\,;\,3\,;\,0} \right)\) nên có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3t\\z = 0\end{array} \right.\].

\(E \in OQ \Rightarrow E\left( {2t\,;\,3t\,;\,0} \right)\).

\(\overrightarrow {PE}  = \left( {2t - 3\,;\,3t - 1\,;\,0} \right)\); \(\overrightarrow {PE}  \cdot \overrightarrow {OQ}  = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t - 3} \right) + 3\left( {3t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{9}{{13}} \Rightarrow E\left( {\frac{{18}}{{13}}\,;\,\frac{{27}}{{13}}\,;\,0} \right)\).

\(N\) di động trên tia \(Oz\)\( \Rightarrow N\left( {0\,;\,0\,;\,n} \right)\).  \(\left( {n > 0} \right)\)

Đường thẳng \(NQ\)có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {NQ}  = \left( {2\,;\,3\,;\, - n} \right)\) nên có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2{t_1}\\y = 3 + 3{t_1}\\z =  - n{t_1}\end{array} \right.\].

\(\overrightarrow {PF}  = \left( {2{t_1} - 1\,;\,3{t_1} + 2\,;\, - n{t_1}} \right)\)

\(\overrightarrow {PF}  \cdot \overrightarrow {NQ}  = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2{t_1} - 1} \right) + 3\left( {3{t_1} + 2} \right) + {n^2}{t_1} = 0 \Leftrightarrow {t_1} = \frac{{ - 4}}{{13 + {n^2}}}\)\( \Rightarrow F\left( {\frac{{18 + 2{n^2}}}{{13 + {n^2}}}\,;\,\frac{{27 + 3{n^2}}}{{13 + {n^2}}}\,;\,\frac{{4n}}{{13 + {n^2}}}} \right)\)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {EF}  = \left( {\frac{{8{n^2}}}{{13\left( {13 + {n^2}} \right)}}\,;\,\frac{{12{n^2}}}{{13\left( {13 + {n^2}} \right)}}\,;\,\frac{{4n}}{{13 + {n^2}}}} \right) = \frac{{4n}}{{13\left( {13 + {n^2}} \right)}}\left( {2n\,;\,3n\,;\,13} \right)\].

Đường thẳng \(EF\) có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{{13}} + 2n{t_2}\\y = \frac{{27}}{{13}} + 3n{t_2}\\z = 13{t_2}\end{array} \right.\].

Đường thẳng \(EF\) cắt trục \(Oz\) tại điểm \(T\) \[ \Rightarrow \frac{{18}}{{13}} + 2n{t_2} = 0 \Leftrightarrow {t_2} =  - \frac{9}{{13n}}\]\( \Rightarrow T\left( {0\,;\,0\,;\, - \frac{9}{n}} \right)\).

\(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 1\,;\,2\,;\,0} \right)\); \(\overrightarrow {PN}  = \left( { - 3\,;\, - 1\,;\,n} \right)\); \(\overrightarrow {PT}  = \left( { - 3\,;\, - 1\,;\, - \frac{9}{n}} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PN} } \right] = \left( {2n\,;\,n\,;\,7} \right)\).

\({V_{PQNT}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PN} } \right] \cdot \overrightarrow {PT} } \right| = \frac{7}{6}\left| {n + \frac{9}{n}} \right| = \frac{7}{6}\left( {n + \frac{9}{n}} \right) \ge \frac{7}{6} \cdot 2\sqrt {n \cdot \frac{9}{n}}  = 7\)   (Vì \(n > 0\))

Dấu \( = \) xảy ra \( \Leftrightarrow n = \frac{9}{n} \Leftrightarrow {n^2} = 9 \Leftrightarrow n =  \pm 3 \Leftrightarrow n = 3\).   (Vì \(n > 0\))

Khi đó \(P\left( {3\,;\,1\,;\,0} \right)\); \(E\left( {\frac{{18}}{{13}}\,;\,\frac{{27}}{{13}}\,;\,0} \right)\); \(F\left( {\frac{{18}}{{11}}\,;\,\frac{{27}}{{11}}\,;\frac{6}{{11}}} \right)\)

\(\overrightarrow {PE}  = \left( { - \frac{{21}}{{13}}\,;\,\frac{{14}}{{13}}\,;\,0} \right)\); \(\overrightarrow {PF}  = \left( { - \frac{{15}}{{11}}\,;\,\frac{{16}}{{11}}\,;\,\frac{6}{{11}}} \right)\)

Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( {PEF} \right)\)là: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 3;2;0} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 15;16;6} \right)\)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {PEF} \right)\)là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {12\,;\,18\,;\, - 18} \right) = 6\left( {2;3; - 3} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( {PEF} \right)\): \(2\left( {x - 3} \right) + 3\left( {y - 1} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 3z - 9 = 0\)

\( \Rightarrow a = 2,b = 3,c =  - 3 \Rightarrow a + b + c = 2\).

Đáp án cần nhập là: 2.