Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;2;3) và S(1;3;-4). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C

Đáp án đúng là "98"

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), suy ra \(OABC\) là tứ diện vuông, tức là \(OM \bot \left( {ABC} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(M\left( {1;2; - 2} \right)\) có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {OM}  = \left( {1;2;3} \right)\) có phương trình \(x + 2y + 3z + 14 = 0\).

Giao điểm \(A\) với \(Ox:A\left( { - 14;0;0} \right)\).

Giao điểm \(B\) với \(Oy:B\left( {0; - 7;0} \right)\)

Giao điểm \(C\) với \(Oz:C\left( {0;0;\frac{{14}}{3}} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {14; - 7;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {14;0;\frac{{14}}{3}} \right)\), suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - \frac{{98}}{3}; - \frac{{196}}{3};98} \right)\)

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - \frac{{98}}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{196}}{3}} \right)}^2} + {{98}^2}}  = \frac{{98\sqrt {14} }}{3}\).

\(d\left( {S;\left( P \right)} \right) = d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 6 - 12 + 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {14} }}\).

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3}.\frac{{98\sqrt {14} }}{3}.\frac{9}{{\sqrt {14} }} = 98\).