Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M ( 1 ; 2 ; 3 ) và S ( 1 ; 3 ; − 4 ) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C sao cho M

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), suy ra \(OABC\) là tứ diện vuông, tức là \(OM \bot \left( {ABC} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OM}  = \left( {1;2;3} \right)\) có phương trình \(x + 2y + 3z - 14 = 0\).

Giao điểm \(A\) với \(Ox:A\left( {14;0;0} \right)\).

Giao điểm \(B\) với \(Oy:B\left( {0;7;0} \right)\)

Giao điểm \(C\) với \(Oz:C\left( {0;0;\frac{{14}}{3}} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 14;7;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 14;0;\frac{{14}}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 7;\frac{{14}}{3}} \right)\).

Suy ra \(AB = 7\sqrt 5 ;AC = \frac{{14\sqrt {10} }}{3};BC = \frac{{7\sqrt {13} }}{3}\).

\({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}  = \frac{{49\sqrt {14} }}{3}\).

\(d\left( {S,\left( P \right)} \right) = d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 6 - 12 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {14} }}\).

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}} \cdot d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{49\sqrt {14} }}{3} \cdot \frac{{19}}{{\sqrt {14} }} = \frac{{931}}{{81}} \approx 11,5\).

Đáp án cần nhập là: \(11,5\).