Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {0;1; - 6} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):4x - y + 2z + 13 = 0\).

14/20

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\).

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 + t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\).

c) Điểm \(C\left( { - 3;3;1} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

d) Gọi \(d\) là một đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) và \(d\) đi qua \(B\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(d\) đạt giá trị nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \(d\) có tọa độ là \(\left( {a;b;c} \right)\) với \(a\) là số nguyên tố. Giá trị của \(a + b + c = 6\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có \(4 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot 3 + 13 = 21 \ne 0\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) không đi qua điểm \(A\).

Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {4; - 1;2} \right).\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\).

Gọi \(C\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Vì \(C \in \Delta \) nên \(C\left( {1 + 4{t_0};2 - {t_0};3 + 2{t_0}} \right)\).

Vì \(C \in \left( P \right)\) nên \(4\left( {1 + 4{t_0}} \right) - \left( {2 - {t_0}} \right) + 2\left( {3 + 2{t_0}} \right) + 13 = 0\), suy ra \({t_0} = - 1\).Vậy \(C\left( { - 3;3;1} \right)\).

Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {CB} = \left( {3; - 2; - 7} \right)\).Suy ra \(a + b + c = 3 - 2 - 7 = - 6\).

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.