Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right);B\left( {2; - 1;3} \right)\) và điểm
Giải thích
Ta thấy \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\). Gọi \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};2} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
Ta có \(M{A^2} + M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)
\( = 2I{M^2} + 2I{A^2} = 2I{M^2} + 7\).
Suy ra \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất Û \(IM\) ngắn nhất Û \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Suy ra \(M\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};0} \right)\). Như vậy \(a = \frac{3}{2};b = \frac{1}{2} \Rightarrow a + b = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2\).