Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(6;2;1), B(2;3; -1). Gọi điểm M(0;b;c) thuộc (Oyz) sao cho MA + MB

Điểm \(M\left( {0;b;c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Nhận thấy hoành độ của A và B cùng dấu (\({x_A} = 6 > 0,{x_B} = 2 > 0\)), do đó A và B nằm cùng một phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với A qua \(\left( {Oyz} \right) \Rightarrow A'\left( { - 6;2;1} \right)\).

Khi đó ta có \(MA = MA'\), suy ra \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).

Giá trị nhỏ nhất đạt được khi M là giao điểm của đoạn thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Vectơ \(\overrightarrow {A'B} = \left( {8;1; - 2} \right)\). Phương trình đường thẳng \(A'B\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 8t}\\{y = 3 + t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

M thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên \({x_M} = 0 \Leftrightarrow 2 + 8t = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{4}\).

Thay t tìm tọa độ M: \(b = {y_M} = 3 + \left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{{11}}{4}\); \(c = {z_M} = - 1 - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) = - \frac{1}{2}\).

Biểu thức cần tính: \(b - \frac{1}{2}c = \frac{{11}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{11}}{4} + \frac{1}{4} = 3\).

Đáp số: \(3\).