Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B( - 2;2,; - 3). Gọi I là tâm mặt cầu (S) có đường kính AB

13/25

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A\left( {2\,;\,4\,;\,1} \right)\], \(B\left( { - 2\,;\,2\,;\, - 3} \right)\). Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\).

1. Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,3\,;\, - 1} \right)\), bán kính \(R = 6\).

ĐúngSai

2. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A là \(\left( P \right):2x + y + 2z - 10 = 0\).

ĐúngSai

3. Bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu với \(\left( Q \right):2x - y + 2z - 1 = 0\) là \(5\).

ĐúngSai

4. Gọi \(I'\) là tâm mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) sao cho diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) gấp \(4\) lần diện tích mặt cầu \(\left( {S'} \right)\). Khi đó, \(II' = \frac{{11}}{2}\).

ĐúngSai

Giải thích

1. Sai. \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I\left( {0\,;\,3\,;\, - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {2\,;\,1\,;\,2} \right) \Rightarrow R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3\).

2. Đúng. \(\left( P \right)\) có \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \overrightarrow {IA} = \left( {2\,;\,1\,;\,2} \right)\) và đi qua điểm \[A\left( {2\,;\,4\,;\,1} \right)\] nên ta có phương trình:

\(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 4} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 10 = 0\).

3. Sai. Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu với \(\left( Q \right)\).

Ta có \(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3 - 2 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\). Suy ra \(r = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \).

4. Sai. Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({S_1} = 4 \cdot \pi \cdot {3^2} = 36\pi \)\( \Rightarrow \) Diện tích mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) là \({S_2} = \frac{{{S_1}}}{4} = 9\pi \Rightarrow r' = \frac{3}{2}\).

Có \(\left( {S'} \right)\) tiếp xúc \(\left( S \right)\) nên \(II' = R + r' = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\).