Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 3; -1) và B(0; 2; 0). a) Mặt cầu tâm A và đi qua B có phương trình là (x – 2)^2 + (y – 3)^2 + (z + 1)^2 = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Sai.                    c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Ta có: R = AB =\(\sqrt 6 \).

Mặt cầu cần tìm có phương trình (x – 2)² + (y – 3)² + (z + 1)² = 6.

b) Sai. Tâm mặt cầu là trung điểm M của AB Þ\(M\left( {1;\frac{5}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).

Bán kính R =\(\frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5y + z + 6 = 0\)

c) Đúng. Gọi M(x; y; z).

Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,3 - y;\,\, - 1 - z} \right)\)

\(\overrightarrow {MB} = \left( { - x;\,\,2 - y;\,\, - z} \right)\)

\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 4 \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( {3 - y} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( { - 1 - z} \right)\left( { - z} \right) = 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5y + z + 2 = 0\)   (1)

Phương trình (1) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {1;\frac{5}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).

d) Sai. Gọi M(x; y; z).

Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,3 - y;\,\, - 1 - z} \right)\)

\(\overrightarrow {MB} = \left( { - x;\,\,2 - y;\,\, - z} \right)\)

\(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = m \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( {3 - y} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( { - 1 - z} \right)\left( { - z} \right) = m\)

<=> x² + y² + z² – 2x – 5y + z + 6 – m = 0    (1)

(1) là phương trình mặt cầu Û\({1^2} + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - 6 + m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{3}{2}\).