Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;-2;4), B(-3;3; -1)

92/235

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (2; - 2; 4)$ , $B (- 3; 3; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z - 8 = 0$ . Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng $(P)$ , giá trị nhỏ nhất của biểu thức $2 M A^{2} + 3 M B^{2}$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \vec 0$, suy ra $I\left( { - 1;1;1} \right)$.

Ta có: $I{A^2} = 27$; $I{B^2} = 12$; $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3$.

$2M{A^2} + 3M{B^2}$$ = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}$$ = 5{\overrightarrow {MI} ^2} + 2{\overrightarrow {IA} ^2} + 3{\overrightarrow {IB} ^2}$$ = 5M{I^2} + 90$.

Mà $2M{A^2} + 3M{B^2}$nhỏ nhất $ \Leftrightarrow $ $MI$ nhỏ nhất. Suy ra $MI \ge d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3$.

Vậy $2M{A^2} + 3M{B^2} \ge 5 \cdot 9 + 90 = 135$.

Đáp án cần nhập là: \[135\].