Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 3) và B(1; 1; 2). Gọi N(a; b; c) là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho N cách điểm A một khoảng bằng 3 căn bậc hai của 6 và a < 2. Tính giá trị củ

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -1

Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - 2;1 - \left( { - 1} \right);2 - 3} \right) = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

Độ dài đoạn thẳng AB là \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 6 \).

Vì N nằm trên đường thẳng AB, vectơ \(\overrightarrow {AN} \) phải cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \), tức là tồn tại số thực k sao cho \(\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {AB} \).

Từ giả thiết \(AN = 3\sqrt 6 \), ta có \(\left| {\overrightarrow {AN} } \right| = \left| k \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\) Þ \(3\sqrt 6  = \left| k \right|\sqrt 6 \) Þ \(\left| k \right| = 3\) Þ k = 3 hoặc k = −3.

Tọa độ điểm N được biểu diễn theo k là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 - k}\\{b =  - 1 + 2k}\\{c = 3 - k}\end{array}} \right.\).

Trường hợp 1: k = 3, ta có a = 2 − 3 = −1. Giá trị này thỏa mãn điều kiện a < 2.

Trường hợp 2: k = −3, ta có a = 2 − (−3) = 5. Giá trị này bị loại do không thỏa mãn a < 2.

Vậy a = −1.