Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -5), B(-3; 0; 1). a) Trung điểm của AB là I(-1;1;2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Đúng.               c) Sai.                    d) Sai.

a) Sai. Ta có trung điểm I của AB có tọa độ là I(-1;1;-2).

b) Đúng. Mặt cầu nhận AB là đường kính nên nhận I là tâm mặt cầu.

Bán kính R = IA = \(\sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 5} \right)}^2}}  = \sqrt {14} \)

Phương trình mặt cầu là: (x + 1)² + (y – 1)² + (z + 2)² = 14.

c) Sai. Phương trình mặt cầu có tâm là A, đi qua B nên có bán kính

R = AB =\(\sqrt {{{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt {14} \).

Do đó phương trình mặt cầu là x² + y² + z² – 2x – 4y + 10z – 26 = 0.

d) Sai. Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Gọi J là tâm mặt cầu S, vì J $\in$ Ox => J(a;0;0) Þ b = c = 0.

Do đó phương trình mặt cầu có dạng x² + y² + z² – 2ax + d = 0.

Vì A(1;2;-5) thuộc mặt cầu (S) nên ta thay vào được: -2a + d =-30.

Vì B(-3;0;1) thuộc mặt cầu (S) nên ta thay vào được: 6a + d =-10.

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 30\\6a + d = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{2}\\d = - 25\end{array} \right.\).

\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} - \left( { - 25} \right)} = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\).