Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 4) và B(3; 2; 0). Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) được tính là \(\left( {3 - 1;2 - \left( { - 2} \right);0 - 4} \right) = \left( {2;4; - 4} \right)\).

b) Đúng. Ta thấy \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 4} \right) = 2\left( {1;2; - 2} \right)\). Rút gọn cho 2, ta được vectơ cùng phương \(\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)\), do đó \(\vec u\) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

c) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 4) và nhận \(\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\).

d) Sai. Thay tọa độ gốc O(0; 0; 0) vào phương trình chính tắc của d, ta có \(\frac{{0 - 1}}{1} = \frac{{0 + 2}}{2} = \frac{{0 - 4}}{{ - 2}}\).

Vì các phân thức không bằng nhau nên đường thẳng d không đi qua gốc tọa độ.