Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; ‒2), B(2; ‒1; 2). Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

 

Ta có A(1; 2; ‒2), B(2; ‒1; 2)

Suy ra A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (Oxy) (do z_A = ‒2 < 0, z_B = 2 > 0).

Lấy M ∈ (Oxy)

Suy ra MA + MB ≥ AB

Suy ra (MA + MB)_min = AB khi và chỉ khi M là giao điểm của AB và mặt phẳng (Oxy) nên \[\overrightarrow {AB} \left( {1; - 3;4} \right)\].

Phương trình đường thẳng AB là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 3t\\z = - 2 + 4t\end{array} \right.\].

Giả sử M(1 + t; 2 ‒ 3t; ‒2 + 4t)

Do M ∈ (Oxy) nên ‒2 + 4t = 0 suy ra \[t = \frac{1}{2}\].

Do đó \[M\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{1}{2};\,\,0} \right).\]