Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; −1), B(3; −2; 5) và một điểm M(0; 1; 4). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và nhận vectơ AB làm vectơ chỉ phương. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

19/25

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; −1), B(3; −2; 5) và một điểm M(0; 1; 4). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} \) làm vectơ chỉ phương. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Tọa độ của vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) là (2; −4; 6).

ĐúngSai

Vectơ \(\vec v = \left( {1; - 2;3} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

ĐúngSai

Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\).

ĐúngSai

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{3}\).

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4;6} \right)\).

b) Đúng. Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4;6} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Ta nhận thấy \(\overrightarrow {AB} = 2\vec v\), tức là hai vectơ này cùng phương với nhau. Do đó, \(\vec v\) cũng là một vectơ chỉ phương hợp lệ của đường thẳng d.

c) Sai. Dựa vào điểm M(0; 1; 4) và vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( {1; - 2;3} \right)\), phương trình tham số đúng của đường thẳng d phải là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\).

d) Đúng. Áp dụng công thức lập phương trình chính tắc với điểm M(0; 1; 4) đi qua và vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( {1; - 2;3} \right)\), ta thu được biểu thức \(\frac{{x - 0}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{3}\) ⇔ \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{3}\).