Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 3 ; 1 ; 2 ) , B ( − 3 ; − 1 ; 0 ) và mặt phẳng ( P ) : x + y + 3z − 14 = 0 . Điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho Δ MAB vuông tại M .

Gọi \(M\left( {x\,;\,y\,;\,z} \right)\) là điểm cần tìm.

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 3\,;\,y - 1\,;\,z - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BM}  = \left( {x + 3\,;\,y + 1\,;\,z} \right)\).

Vì \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\) nên \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BM}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 9 + {y^2} - 1 + {z^2} - 2z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11\].

\( \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

Nhận xét thấy \(d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3 \cdot 1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {11}  = R\)\( \Rightarrow \left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(M\).

\( \Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\\overrightarrow {IM} \,{\rm{ c}}\`u {\rm{ng phuong  }}\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + 3z = 14\\\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1\,;\,1\,;\,4} \right)\].

Vậy \(d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| 4 \right| = 4\).

Đáp án cần nhập là: 4.