Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2 ; − 3 ; − 5 ) , I ( 2 ; 0 ; − 1 ) và mặt phẳng ( P ) : 2x − y − 2z + 5 = 0 . Điểm M ( a ; b ; c ) thay đổi thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho I

46/48

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 3; - 5} \right),I\left( {2;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 5 = 0\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(IM = 5\) và độ dài đoạn \(AM\) lớn nhất. Khi đó, tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + 2c\).

10.

12.

11.

13.

Giải thích

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow H\left( { - \frac{4}{9};\frac{{11}}{9};\frac{{13}}{9}} \right)\) và \(IH = \frac{{11}}{3}\)

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow K\left( { - \frac{{26}}{9}; - \frac{5}{9}; - \frac{1}{9}} \right)\).

Vì \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) và \(IM = 5\) nên \(M\) nằm trên đường tròn tâm \(H\), bán kính \(HM\) và

\(HM = \sqrt {I{M^2} - I{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {{\left( {\frac{{11}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {26} }}{3}\).

\(\overrightarrow {HK} = \left( { - \frac{{22}}{9}; - \frac{{16}}{9}; - \frac{{14}}{9}} \right) \Rightarrow HK = \frac{{2\sqrt {26} }}{3} \Rightarrow K \in \left( {H,HK} \right)\).

Do đó, để \(AM\) lớn nhất thì \(KM\) lớn nhất khi và chỉ khi \(M\) là điểm đối xứng với \(K\) qua \(H\).

Khi đó tọa độ của điểm \(M\left( {2;3;3} \right) \Rightarrow a = 2,b = 3,c = 3 \Rightarrow T = a + b + 2c = 11\). Chọn C.