Trong không gian Oxyz, cho hai diểm A (2; - 2;4), B(- 3;3; - 1) và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 8 = 0

98/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai diểm \(A\left( {2; - 2;4} \right),\,\,B\left( { - 3;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 8 = 0.\) Xét M là điểm thay đổi thuộc \(\left( P \right),\) giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2}\; + \;3M{B^2}\) bằng

Đáp án: ____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Gọi \[I\left( {x;y;z} \right)\] là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \vec 0\) \( \Rightarrow I\left( { - 1;1;1} \right).\)

\( \Rightarrow I{A^2} = 27,\qquad I{B^2} = 12,\qquad d(I,(P)) = 3.\)

Ta có: \(2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 5M{I^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2} = 5M{I^2} + 90.\)

Mà \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất.

\( \Rightarrow MI \ge d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3\) \( \Rightarrow 2M{A^2} + 3M{B^2} \ge 5 \cdot 9 + 90 = 135\)