Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2 ; − 2 ; 4 ) , B ( − 3 ; 3 ; − 1 ) và mặt phẳng ( P ) : 2x − y + 2z − 8 = 0 .

37/50

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 2;4} \right)\), \(B\left( { - 3;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 8 = 0\). Xét M là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Giải thích

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \vec 0\), suy ra \(I\left( { - 1;1;1} \right)\).

Ta có: \(I{A^2} = 27\); \(I{B^2} = 12\); \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3\).

\(2M{A^2} + 3M{B^2}\)\( = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\)\( = 5{\overrightarrow {MI} ^2} + 2{\overrightarrow {IA} ^2} + 3{\overrightarrow {IB} ^2}\)\( = 5M{I^2} + 90\).

Mà \(2M{A^2} + 3M{B^2}\)nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) \(MI\) nhỏ nhất. Suy ra \(MI \ge d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3\).

Vậy \(2M{A^2} + 3M{B^2} \ge 5 \cdot 9 + 90 = 135\).

Đáp án cần nhập là: \[135\].