Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A { - 2;0; - 3}, B (- 4;1; - 1)

22/22

Trong không gian\(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 2;0; - 3} \right),B\left( { - 4;1; - 1} \right)\). Biết \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?

Giải thích

Đáp án: -2

Gọi \(B'\) đối xứng \(B\) qua \(\left( {Oyz} \right)\). Khi đó \(B'\left( {4;1; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB'} = \left( {6;1;2} \right)\)

Khi đó với mọi \(M\left( {0;b;c} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)thì

\(MB = MB'\)\( \Rightarrow MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).

Để \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(A,M,B'\) thẳng hàng và \(M\) nằm giữa \(A,B'\).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 6k\\b = k\\c + 3 = 2k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{1}{3}\\c = - \frac{7}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \(a + b + c = - 2\).